%Рассмотрим модель авторегрессии проинтегрированного скользящего
%среднего (АРПСС).
%\begin{equation}\label{АРПСС}
%    \Phi(B)X_t=Q(B)\epsilon_t
%\end{equation}
%где $\Phi(B)$ имеет нули внутри единичного круга.
%\begin{equation}\label{phgi}
%    \varphi(B)X_t=Q(B)\epsilon_t
%\end{equation}
%Относительного полинома будем предполагать, что они имеют $p$
%нулей вне единичного круга и $d$ нулей на единичной окружности.
%Тогда справедливо представление
%\begin{equation}\label{razl}
%    \varphi(B)=\Phi(B)(1-B)^d
%\end{equation}
%Введем разностный оператор $\nabla=1-B$.
%$$
%\nabla X_t=X_t-X_{t-1}
%$$
%$$
%\varphi(B)=\Phi(B)(1-B)^d=\Phi(B)\nabla^d
%$$
%Тогда
%$$
%\Phi(B)\nabla^dX_t=Q(B)\epsilon_t
%$$
%Обозначим $\nabla^d X_t=W_t$ и получим, что
%$\Phi(B)W_t=Q(B)\epsilon_t$.\\
%Введем теперь обратный оператор суммирования
%\begin{equation}\label{summ}
%    X_t=(1-B)^{-1}W_t=S^dW_t,
%\end{equation}
%где
%$$
%SX_t=X_t+...+X_{t-k}+...
%$$
%Тогда
%\begin{equation}\label{vir}
%    V_t=S^dW_t=S^d\Phi^{-1}(B)Q(B)\epsilon_t=\Psi(B)\epsilon_t
%\end{equation}


\subsection{Модели нестационарных временных рядов}
$$Y_t = d_t * X_t, \quad * \in \{+,\cdot\}$$
%Нестационарные временные ряды гораздо чаще встречаются в жизни.
Рассмотрим две основные модели:
\begin{enumerate}
    \item {аддитивная}:
    \begin{equation}
    \label{eq_16}Y_t = d_t + X_t,
    \end{equation}
    \item {мультипликативная}:
    \begin{equation}
    \label{eq_17}Y_t = d_t \cdot X_t,
    \end{equation}
\end{enumerate}
где $X_t$ -- стационарный временной ряд, $d_t$ --
детерминированная составляющая, отражающая "неслучайность".
\par
Чтобы (\ref{eq_17}) свести к (\ref{eq_16}), применяют
логарифмическое преобразование (в случае, если $d_t > 0$). Если $d_t
\le 0$, то ряд преобразуют, прибавляя к нему такую константу $C$,
чтобы $d_t + C > 0$.\\

Преобразование Бокса-Кокса:
%$$
%f(Y_t,\lambda) = \left\{
%\begin{array}{ll}
%\frac{Y_t^\lambda-1}{\lambda}, & \lambda > 0\\
%\log Y_t, & \lambda = 0
%\end{array}
%\right.
%$$
%\insertpicture{1.bmp}{Преобразование Бокса-Кокса}{}
$$
d_t = N_t \ast tr_t \ast C_t \ast s_t,
$$
где $N_t$ -- интервенция, $tr_t$ -- тренд, $C_t$ -- циклическая
компонента, $s_t$ -- сезонная компонента.\\

\begin{df} Интервенция -- {\rm это существенное кратковременное
воздействие на временной ряд.}
\end{df}

\begin{rm} Если момент интервенции близок к началу ряда, то
при анализе лучше отбросить начальные данные.
\end{rm}

\begin{df} Тренд -- {\rm это плавно изменяющаяся нециклическая
компонента, описывающая чистое влияние долговременных факторов,
эффект которых сказывается постепенно.}\\
Другими словами, это некая нециклическая тенденция
развития/затухания ряда. Например, изменение демографических данных
населения.
\end{df}

\begin{df}Циклическая компонента {\rm описывает длительные
периоды относительного подъема и спада. Она состоит из циклов,
которые меняются по амплитуде и протяженности. Это периодическая
функция времени, которая не включает случайную составляющую.}\\
Поскольку циклическую компоненту по одному ряду оценить сложно,
часто ее рассматривают как единую компоненту с трендом.
\end{df}

\begin{df} Сезонная компонента {\rm описывает поведение временного
ряда, изменяющегося регулярно в течение определенных периодов
времени. Состоит из последовательности повторяющихся циклов
одинаковой длины. Она может включать случайную составляющую.}
\end{df}
Обычно рассматривают
$$
d_t = N_t + \underbrace{tr_t \ast C_t}_{\mbox{единая}\atop\mbox{компонента}} \ast \, s_t.
$$
